2. LUGARES GEOMÉTRICOS

 ¿Qué es un lugar geométrico?

Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas 
propiedades geométricas.

   La mediatriz y la bisectriz

Meriatriz: La mediatriz de un segmento es la línea recta perpendicular a dicho segmento
trazada por su punto medio. Equivalentemente se puede definir como el lugar geométrico , la
recta cuyos puntos son equidistantes a los extremos del segmento. También se le llama simetral.

Bisectriz: La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide
en dos partes iguales. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la 
misma distancia ) de las semirrectas de un ángulo.

 Las cónicas

¿Qué es una cónica?

Del cono o relacionado con este cuerpo geométrico.

  

La circunferencia

La circunferencia es una curva plana y cerrada donde todos sus puntos están a igual
distancia del centro.

        

 La elipse:

  
Se puede obtener la elipse a través de un cono de la siguientes formas: 

Método del jardinero: 

Esta construcción se basa en una técnica sintética mediante la cual se toma un hilo de longitud 2a que queda fijado por sus extremos en ambos focos. 

Manteniendo el hilo tenso, se dibujará la elipse, ya que todo punto P de la figura verifica que su suma de distancias a los focos es constante y vale 2a (por ser la longitud del hilo).

Procedimiento:

Primero deben dibujarse perpendicularmente los dos ejes de coordenadas en el suelo y situar el eje Y en la dirección N-S, y el eje X en la dirección E-O.

 Luego hemos de señalar los dos focos que están en el eje X a ambos lados del centro a una distancia c , es decir, en los puntos (c,0) y (-c, 0).

 Después, con una cuerda que tenga de longitud l = 2a y colocando los extremos en los focos señalados, dibujar la elipse tal como se ve en la figura.  

                               

   Mesa  de billar elíptica: 

El billar elíptico se trata de una mesa de billar en la que las bandas rectas han sido

sustituidas por una única banda contínua de forma elíptica. Es un dispositivo presente

en algunos museos de ciencia que ya había fabricado, entre otras ideas ingeniosas, Lewis Carrol (autor de Alicia en el País de las Maravillas). Su característica principal es que cualquier bola lanzada desde un foco, o que pase por él, acaba pasando por el otro foco después de rebotar en la banda.

con los ejemplos de la siguiente animación queda mucho más claro:

http://centros5.pntic.mec.es/ies.victoria.kent/Rincon-C/Simulaci/b-e/b-e.htm

Hipérbola

obtención de la hipérbola en un cono :  

   

  La lámpara hiperbólica

 Las figuras sobre la pared, formadas por la luz de la lámpara, se pueden reproducir experimentalmente tomando las medidas de cualquier lámpara del tipo que tengamos en casa y de su posición relativa a la pared. El siguiente gráfico muestra la geometría utilizada para tomar estas medidas:

Parábola

Espejo parabólico:

Vamos a considerar un espejo parabólico con la cara reflectante cóncava. Podemos distinguir en él los siguientes elementos:

Eje óptico: es el eje de simetría de la superficie.

Foco: punto donde convergen todos los rayos que llegan paralelos al eje óptico.

Cuando tenemos un espejo esférico y utilizamos una sección esférica muy próxima al eje óptico, la superficie de la parábola y de la esfera son indistinguibles, en consecuencia, su comportamiento es prácticamente igual al de un espejo parabólico. Hablamos entonces de centro de curvatura: es el centro geométrico de la esfera a la que corresponde la superficie del espejo.

Un espejo parabólico tiene la particularidad de que todos los rayos que llegan paralelos al eje óptico se reflejan pasando por el foco. Esta característica se aprovecha por ejemplo en la construcción de antenas parabólicas, hornos solares, etc. 

De la misma manera todos los rayos que pasen por el foco se reflejan en el espejo saliendo paralelos al eje. Podemos observar esta propiedad al observar los faros de un coche, en ellos la lámpara se coloca en el foco de manera que al salir los rayos de luz paralelos al eje la luz se concentra en la dirección de la carretera.

Este comportamiento lo presentan sólo los espejos parabólicos, aunque también puede considerarse que se comportan así los espejos esféricos cuando corresponden a una pequeña sección de esfera. De hecho, a lo largo de la historia la gran mayoría de los espejos construídos han sido esféricos, porque resultan mucho más fáciles de construir.

Ejemplos: 

• El observador está detrás del centro de curvatura. La imagen es real, invertida y más pequeña que él

•            Cuando el observador se encuentra justo en el centro de curvatura, ve su imagen a tamaño real pero invertida.

•             Cuando el observador se sitúa entre el centro de curvatura y el foco, su imagen, real e invertida, es de mayor tamaño que él y seguirá agrandándose hasta que el observador se sitúe en el foco. En el foco los rayos no convergen, siguen paralelos hasta distancia infinita; el observador verá una imagen borrosa e irreconocible que llena la totalidad del espejo.